どういう風に作りたいのか、よく分かっていませんが・・・たぶん、こんなのかな?というので説明します。
Object colorの上にTextureを透過で表示する・・。

Shading設定で3DViewに表示される物が異なるので、その辺りは調べてください。
レンダリング結果は同じなので・・・。

最初に質問のあったTexture Paintについて、簡単に説明します。
Planeを生成してダイレクトにそれにTexture Paintを実行した場合、左のようになると思います。

で、簡易的なUVマッピングを実施し、Texture Imageを指定するとこうなるはず。
(UVマッピングについての簡易説明は後にします)
ここで、右側は生成したTexture ImageをImage Editorで開いたところです。
赤色で示した部分はこのImageのアルファチャネルを表示するように指定するところです。
このように全ての領域が白色なので全ての領域の色が使われるようになっています。

このTextureにいろいろな色で描いても地の色は表示されません。
アルファチャネルが透過に設定されていないからです。
BrushのBlendでErase Alphaを選択して、全ての領域を塗りつぶすとアルファチャネルが黒色になります。
これで全ての領域が透明になりました。
この状態で色々な色で塗りつぶせば、その部分だけが表示されます。
色を塗る時は表示チャネルをColor and Alphaに切り替える事を忘れずに・・・。

注意事項
最初にダイレクトにTexture Paintを実行するとMaterialの設定はされますが、それが正しく表示されないと思います。
その理由はそのMeshに対してそのTextureのUVマッピングが正しく設定されていないからです。
一度そのMeshを選択してEdit-modeに移って、Image Editorを開くと設定したはずのTexture Imageが表示されていないと思います。
もし、そうであればそのTexture Imageを選択して、UVマッピングしてください。
Materialには設定されているはずなので、これでViewに表示されると思います。

UVマッピングについて
MeshにTextureを貼る場合、Textureが綺麗に均等に扱えるように通常MeshにSeamを設定します。(unwrapで展開することを想定しています)
これはTextureに描画する際に描画を容易にするための準備です。
どこがどの部分に繋がっているかが分からなければ描画する際に困りますよね?

この例ではCubeを使用しています。
図のようにEdgeを選択してSeamを設定してUnwrapすると
このようにUV展開されます。

UV展開された物はEdit-modeの様に選択して回転/移動/拡大・縮小など出来ます。
Texture上で展開された個々の領域が一様な大きさ(物理的な大きさではなく相対的な尺度)で展開されれば表示された際に解像度が異なる可能性が抑えられます。
物によっては適切にSeamを設定するのが難しい事もありますが、そこは慣れです・・・。
注意事項
上記の赤字の部分ですが分かり難い書き様なので補足・・・。
Faceのサイズが異なるのにそれがTexture Imageで占める割合が同じ様であれば片方では引き伸ばされ、他方では縮めて表示されるので表示上の解像度が異なってしまいます。
それを抑えるために解像度が一様になるようにUVを展開した方がいいという意味です。
UV展開の方法には幾つかあるので、用途に合わせて使い分けるようにすればいいと思います。

Materialについて
ベースのObject colorを使いたいのであればMaterialタブのOptionsのFace TexturesはOFFのままで・・。
これをONにするとObject ColorをTextureに置き換えてしまうので地の色が出ません。

3DViewのShadingについて
使っているBlenderの版によって多少動作が異なる事があります。
(不具合修正されていたり、不具合が再発していたりするので・・・)
Meshに適用されたTextureイメージをレンダリング同様に確認するのであれば、3DViewのViewport ShadingをRenderedにするのが確実ですが・・・
環境によっては描画時間がかかるので重くなります。
その場合、3DViewのShadingをGLSLに、そして3DViewのViewport ShadingをTextureに設定して、シーン内の選択Layer内にライトを置く事です。
これでレンダリング結果同様にObjectにTextureが表示されます。
3DViewのViewport ShadingをGLSLにして、Textured SolidをONにすれば、3DViewのViewport ShadingがSolidでもTexture表示は可能ですが透過などの処理が適切に行われないので適宜自分の必要としているモード選択をする必要があります。

他にもいろいろと注意事項はあるかと思いますが、適宜マニュアルを読みながら理解をして行ってください。

一番最初の画像のサンプルファイル
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