こんばんは、まんだです。謹んで答えさせていただきます。
あ、はじめまして、ですね。よろしく。

■ Ctrl+J 後のメッシュ分割について:
あなたがまだCTRL+Jを押しただけなら何とかなるかも。
1.EDITモードで、適当な頂点(Vertex)を選択、その頂点のみが選択された 状態にする
2.'L'キーを押して、目的の形状(のみの)全ての頂点が選択されることを確認。
3.'P'キーを押して出てくるポップアップメニュー(Separete)で"Selected"を選択

以上。

1.の状態から'P'キーを押して"All loose parts"を選んでもOK。ただしこちらはつながっていないもの全てが一つ一つのオブジェクトになってしまうから、注意。

■ オブジェクト同士の切り欠きについて:
標準で付いてます、その機能が。
1.OBJECTモードで2つの(重なった)オブジェクトを選択
2.'W'キーを押して、ポップアップメニューから"Different"を選択
見た目は変わっていないけれども、新しいオブジェクトが出来てますので、そのオブジェクトの上にカーソルを合わせ、右クリックしてみるとOK。
事前に対象となる2つのオブジェクト名をメモまたは記憶しておくと作業がはかどります。

また、'W'キーで出たポップアップは全て試してみると面白いでしょう。

ZIPファイル用意しました。こんな感じです。説明は少ないですけど。
ちなみに制作したBlenderのバージョンは2.40。
では。
「万年初心者」のまんだ
:download:test0115.zip