VertexGroupsはMeshと一緒についてくると思います(バグでなければ)ので、Armatureの再利用の話に焦点をしぼります。

同じArmatureを別のSceneで別のActionをつけるということはできなかったと思うので、別のArmatureとしてしまう必要があります。

すでにリンクで目的のSceneに同じArmatureがある場合、そのArmatureを選択し、Make Single User→Object(EditModeでBoneをいじる可能性がある場合はObject + Obdata)でリンクを外して別のArmatureにし、ActionWindowのヘッダのAction名が表示されている部分(AC:Action.*** と表示されている部分)の隣の数字をクリックして、ついているActionも別物にして下さい。

もしくは一旦そのリンクされているArmatureを削除し、データを保存後、Append→保存したファイル→Object→Armatureのオブジェクト名を選択し、新たに読み込んで下さい(もちろんAppendはAppendモード(LinkボタンがOFFになっている状態)になっていること。デフォルトでは問題ないと思います)。