質問の意図がよくわからないので、こちらの推測で書きます。
前提条件として、別々のObjectのPlaneが質問にあるような状態である。

ケース１)
これを1つのObjectとしたい。
方法)
Joinすればひとつになる。

ケース2)
ケース1に加えて、2つのMeshが接する部分に新たなEdgeを作成したい。
方法)
それぞれのMeshにBoolean Modifierで接する箇所にEdgeを作成し、それぞれを選択してJoinする。
Joinした時点で接合部分は統合されていると思いますが、統合されていなければ好きな方法でマージする。

すいません、上記の赤色の記述はイレギュラーな使用方法なので不適切な説明です。
Boolean Modifierは面がループ、つまり閉じたオブジェクトを想定して作成されています。
上記のような面が開いた状態のものに対する動作は保障されていません。
上記の方法で行うとFACE LOOP ERRORというエラーメッセージがコンソールに表示されます。
従って、下記の方法２を使用するのが問題が発生しない方法です。

方法2)
多少位置ずれが発生しても気にしない、又は別途調整する場合は最初にJoinして
双方のMeshでLoop CutしてEdgeを作成し、位置を固定したい方のVertexに他方の該当するVertexをマージする。

他にもいろいろとあるとは思いますが・・・

ついでに、Vertexを整列させる方法も書いておきます。
位置調整が微妙とか質問に書いてあったので、余計な事かも知れませんが念の為に。

整列させたいVertexを全て選択した状態で、Sキーを押下、整列させたい軸のキーを押下(XorYorZ)、0(ゼロ)を押下。
これで、選択されたVertexが指定した軸に対して整列します。その軸の整列される位置は全ての選択したVertexのその軸の平均値だと思う。