編集モードでショートカットＥを使いメッシュを作成し、オブジェクトモードに変更すると追加したメッシュが無くなってしまうのはなぜでしょうか？

通常起こり得なさそうなことなので・・・。
作業している所のスナップショットを取って貼り付けてください。

>編集モードでショートカットＥを使いメッシュを作成し
この時のスナップショット
>オブジェクトモードに変更する
この時のスナップショット

Blenderでは画面上部に作成したパーツの個数情報が表示されています。
Vertex/Edges/Facesこれらが作業時に増加しているか確認して下さい。

投稿スレッドに複数の画像を一度に添付することは出来ません。
一度添付して投稿して、編集で別の画像を添付すれば複数枚貼れます。

知らないうちにシェイプキーが設定されてるとかはないですか？

ありがとうございます。
仕事で手元にPCがないので、帰ったらやってみます。

シェイプキー、使った事がありませんので気付いていない可能性があります。
仕事が終わったら確認してみます。
ありがとうございます。

編集モード時のスクリーンキャプチャです。

オブジェクトモード時のスクリーンキャプチャです。

hideは日本語でなんていうんだろう、メッシュ一部分の非表示はオブジェクトモードで見えてくるから違いますねえ・・・。モディファイヤかボーン設定でいじったか、そのシェイプキーですか、それしか考えられないかなあ・・・。

アニメーションの勉強がまだのようなら、一番最初のフレームにタイムラインで合わせて作業する方が分かり良いですよ。矢印キーとかで移動しちゃいますが。その７５フレーム上と最初のフレームでレンダリングしてみてどうですか？２枚の結果が違うならアニメがついちゃってますね。hideじゃないからレンダリングしても意味ないか。いろいろ見てみると原因が見えてきますよ。モデルの非表示とレイヤーも使ってるみたいですけど、それも総確認してみるとか。

どうも説明が足りなかったのか意図が伝わらなかったようなので、改めて書きます。
Editモードで作業時にExtrude実行前と実行後に構成要素の数が変化しているか確認する。
作業完了後Objectモードに戻った後、再度Editモードに入り構成要素の数が変化しているか確認する。
Objectモードに戻る前の要素の数と再度Editモードに入った時の要素の数が同じならば質問にあるような要素の減少は起きていません。

現象が発生するファイルを添付されるのが一番分かり易いですが、ライセンス関係で問題が発生しないような物
又は現象が再現するサンプルファイルがあれば添付して下さい。
また、以下のことも確認して下さい。

質問の現象はそのファイルでのみ発生していますか?　それとも新規ファイルで同様の作業をしても発生しますか?
その編集されているObjectがArmature Modifierの影響下にあるのかは画像からは分かりませんが
もしArmature Modifierの影響下にあるのであればMuraさんの指摘されているアニメーション途中のフレームで確認されているからではないでしょうか。
EditモードではObjectの形状のままで表示されますがObjectモードではアニメーションの影響後の形状になります。

:download:test.blend
上記のファイルを開いてください。
アニメーションが３０フレーム目になっていると思います。
表示されているObjectをEditモードにするとCube形状になります。
１フレーム目にアニメーションキーを移動するとObjectモードでもCubeになっています。
そのままEditモードに入るとCube形状のままのはずです。
これはWeight設定がされていない場合の例です。

以下は個人的な感想です。
添付されている画像ではあなたが質問されている現象が発生している対象が特定しにくいです。
選択されている部分が現象部位ではないですよね?
質問する際には意図説明する努力が必要だと個人的に思います。
(キャプチャーした画像にこの部分がこうなったと書き込むとか)
黒塗りのVolumeの形状変化だけでは現状説明に乏しいと思いませんか?

muraさん、完全無欠猫さん、ありがとうございます。
挑戦してみましたが、解決しませんでした。
説明不足で申し訳ありません。
データを添付します。

:download:cap.blend

帽子のシェイプキーはまだ設定前みたいだから、先に全部とって付け直したら直ると思います。もしその過程でぺたんこになったら、てっぺんの面を引き上げて直して、その後あらためてシェイプキーを最初から設定するといいと思います。

たぶんシェイプキーを付けてから作り直したとか、そういう関係か、もしくはバグかもしれませんね。昔の感覚、またいろんな３Dソフトをやって無難なことしかしない感覚から言うと、メッシュの変形アニメは作り終わってからするのが無難です。

あと、あまり慣れず複雑にペアレント（親子関係）やボーン設定をやってると、モデル本来の位置からずれたりします。慣れてないとすると結構高度なことに挑戦してますよ、これ。遊ぶだけならこのままでもいいのかもしれないですね。私は細部に踏み込む自信がないので、すべてゼロ位置に立たしてシンプルな設定をして作ってます。

追記
うーん、も一回見たけど、モデル作り終わるまでボーンのポーズもモディファイヤもしない方がいい気がするな・・・blenderは動かしながらモデリングできるのかな？？？試してないけど