Shape Keysのペインの中に+、-のボタンがありますが、その下の▼ボタンを押下するとメニューが出ます。
それでShape Keyを転送できます。

コピーしたいKeyのあるオブジェクトを選択してからコピー先のオブジェクトを選択してメニューから実行する項目を選択してください。
厳密に同一オブジェクトでないとエラーになります。
(厳密にとは頂点数、頂点の登録順序などです。NGONになってからどうなったかは分かりませんが以前の場合は並びが異なるとエラーになりました。)
また、コピー元にKeyが存在していないと駄目なので注意してください。

コピー元にKeyがない場合はJoin as ShapesでKey追加できます。
(オブジェクトの選択順序は上と同じです)

ご存知かもしれませんが、ついでなので注意点を書いておきます。
Shape Keyの転送でも、Joinでもそうですが操作は全てEditモードでしてからKeyの操作をしてください。

例えば、単に大きさを変化させたい場合ですが、Objectモードで変化させたもので操作しても駄目です。
Editモードでちゃんと拡大してからKeyの操作をしてください。

案外うっかりミスが多い点なので念の為に書いておきます。