完全無欠猫さん、ありがとうございます。
自分が作ったデータではないようです。
「basicになるobjectを複製して気の済むまで編集する。
これを幾つも(必要なkeyの数)作成し、basicとなるobjectにjoin as shapesでshapekeyとして追加することです。」
肝に銘じてblenderに励みます。

muraさん、お察しの通りです。
モデリングすると早くポージングしたくなっちゃうんです。
ありがとうございました。

blendファイル拝見しました。
質問のあったobjectにshapekeyが設定されていますね。
また、そのobjectには重複するvertexが、かなりあるようです。
remove doublesすると1/3ぐらい減ったような・・・。
質問のあったextrudeした時にobjectモードに戻ると消えるという件ですが・・・
該当objectの最後のshapekeyで頂上のvertex(円形に)をextrudeしてshapekeyを編集してみましたが
vertexは消えずに残っています。
shapekeyをよく理解されていないのではないでしょうか・・。
試しに編集したshapekeyを選択すると編集した形状になりました。
編集したblendファイルを添付します。
:download:cap_tmp.blend

また、参考までにshapekeyを追加する度にvertexを追加して作成したファイルも添付します。
:download:samplebox.blend

これの作業手順を書いておきます。
1.cubeを生成する。
2.cubeのbasicのshapekeyを作成する。(+ボタン)
3.cubeを選択してEditモードに入る。
4.何もせずに全てのvertexを選択してobjectモードに戻る。
5.shapekeyを追加する。(+ボタン)
6.cubeを選択してEditモードに入る。
7.上の面の4つのvertexを選択してextrudeしてz軸方向に移動。
8.全てのvertexを選択してobjectモードに戻る。
9.shapekeyを追加する。(+ボタン)
10.cubeを選択してEditモードに入る。
11.右側の6つのvertexを選択してextrudeしてx軸方向に移動。
4つではなく６つです。7.でvertexが増えているので・・・。
12.全てのvertexを選択してobjectモードに戻る。

これで3つのshapekeyが出来ます。
key1、key2をそれぞれ選択してvalueを変更すると、それぞれの効果が現れるはずです。

:download:samplebox2.blend
ちなみに、これは上記手順で追加するshapekeyを編集する際に全てのvertexを選択しないで編集箇所のみを選択してobjectモードに戻って作成したものです。
何も選択しないでobjectモードに戻るとEditモードで作業した内容と等価のはずです。
この辺りの違いは公式のマニュアルを一読して理解されることを勧めます。

しかしながら、この方法はお勧め出来ません。
後からshapekeyを編集する際に思いもよらぬ結果になる事があるからです。
そのshapekey作成時には存在しないvertexがあっても反映されない事があるので(作成経緯によるので一概には言えないが・・)
shapekeyを設定する場合はモデリングが完了してからすることをお勧めします。
泣かない覚悟があるのであれば・・・お好きに・・・。

Shapekeyを設定する際にkey追加して編集することは滅多にないと思いますが・・・。
お勧めのやり方はbasicになるobjectを複製して気の済むまで編集する。
これを幾つも(必要なkeyの数)作成し、basicとなるobjectにjoin as shapesでshapekeyとして追加することです。
(但し編集する際にvertexの追加、削除をしてはいけません。)

帽子のシェイプキーはまだ設定前みたいだから、先に全部とって付け直したら直ると思います。もしその過程でぺたんこになったら、てっぺんの面を引き上げて直して、その後あらためてシェイプキーを最初から設定するといいと思います。

たぶんシェイプキーを付けてから作り直したとか、そういう関係か、もしくはバグかもしれませんね。昔の感覚、またいろんな３Dソフトをやって無難なことしかしない感覚から言うと、メッシュの変形アニメは作り終わってからするのが無難です。

あと、あまり慣れず複雑にペアレント（親子関係）やボーン設定をやってると、モデル本来の位置からずれたりします。慣れてないとすると結構高度なことに挑戦してますよ、これ。遊ぶだけならこのままでもいいのかもしれないですね。私は細部に踏み込む自信がないので、すべてゼロ位置に立たしてシンプルな設定をして作ってます。

追記
うーん、も一回見たけど、モデル作り終わるまでボーンのポーズもモディファイヤもしない方がいい気がするな・・・blenderは動かしながらモデリングできるのかな？？？試してないけど

muraさん、完全無欠猫さん、ありがとうございます。
挑戦してみましたが、解決しませんでした。
説明不足で申し訳ありません。
データを添付します。

:download:cap.blend

どうも説明が足りなかったのか意図が伝わらなかったようなので、改めて書きます。
Editモードで作業時にExtrude実行前と実行後に構成要素の数が変化しているか確認する。
作業完了後Objectモードに戻った後、再度Editモードに入り構成要素の数が変化しているか確認する。
Objectモードに戻る前の要素の数と再度Editモードに入った時の要素の数が同じならば質問にあるような要素の減少は起きていません。

現象が発生するファイルを添付されるのが一番分かり易いですが、ライセンス関係で問題が発生しないような物
又は現象が再現するサンプルファイルがあれば添付して下さい。
また、以下のことも確認して下さい。

質問の現象はそのファイルでのみ発生していますか?　それとも新規ファイルで同様の作業をしても発生しますか?
その編集されているObjectがArmature Modifierの影響下にあるのかは画像からは分かりませんが
もしArmature Modifierの影響下にあるのであればMuraさんの指摘されているアニメーション途中のフレームで確認されているからではないでしょうか。
EditモードではObjectの形状のままで表示されますがObjectモードではアニメーションの影響後の形状になります。

:download:test.blend
上記のファイルを開いてください。
アニメーションが３０フレーム目になっていると思います。
表示されているObjectをEditモードにするとCube形状になります。
１フレーム目にアニメーションキーを移動するとObjectモードでもCubeになっています。
そのままEditモードに入るとCube形状のままのはずです。
これはWeight設定がされていない場合の例です。

以下は個人的な感想です。
添付されている画像ではあなたが質問されている現象が発生している対象が特定しにくいです。
選択されている部分が現象部位ではないですよね?
質問する際には意図説明する努力が必要だと個人的に思います。
(キャプチャーした画像にこの部分がこうなったと書き込むとか)
黒塗りのVolumeの形状変化だけでは現状説明に乏しいと思いませんか?

hideは日本語でなんていうんだろう、メッシュ一部分の非表示はオブジェクトモードで見えてくるから違いますねえ・・・。モディファイヤかボーン設定でいじったか、そのシェイプキーですか、それしか考えられないかなあ・・・。

アニメーションの勉強がまだのようなら、一番最初のフレームにタイムラインで合わせて作業する方が分かり良いですよ。矢印キーとかで移動しちゃいますが。その７５フレーム上と最初のフレームでレンダリングしてみてどうですか？２枚の結果が違うならアニメがついちゃってますね。hideじゃないからレンダリングしても意味ないか。いろいろ見てみると原因が見えてきますよ。モデルの非表示とレイヤーも使ってるみたいですけど、それも総確認してみるとか。

編集モード時のスクリーンキャプチャです。

オブジェクトモード時のスクリーンキャプチャです。

シェイプキー、使った事がありませんので気付いていない可能性があります。
仕事が終わったら確認してみます。
ありがとうございます。

ありがとうございます。
仕事で手元にPCがないので、帰ったらやってみます。