なかったと思います。
剛体コンストレイントは通常のコンストレイントとは別の扱いですので、残念ながら二番目の方法は利用できません。

メッシュ同士なら、一応以下の方法でコピーできます。ただ、さっさと手作業でコピーした方が早いかもしれませんｗ

例えば、Cubeオブジェクトの剛体コンストレイントを、Sphereオブジェクトにコピーしたい場合、
１）Cubeオブジェクトを[Shift]＋[D]キーなどで複製
２）１）で新しくできたオブジェクトを選択し、オブジェクトデータプロパティで、メッシュデータのリンクをSphereに変更



３）必要なら、元のSphereオブジェクトから、モディファイアーやコンストレイントなどもコピー。アニメーションがある場合は、ドープシートでリンク。
４）元のSphereオブジェクトを削除。